إليك ملخص شامل ومبسط لأهم مفاهيم مقياس الاحتمالات (Probabilités)، مرتبة حسب التسلسل الدراسي المعتاد:
1. المفاهيم الأساسية (Basic Concepts)
- التجربة العشوائية: تجربة لا يمكن توقع نتيجتها بدقة قبل إجرائها (مثل رمي زهر النرد).
- فضاء العينة ($\Omega$): مجموعة كل النتائج الممكنة.
- الحدث (Event): مجموعة جزئية من فضاء العينة.
- قانون الاحتمال: $P(A) = \frac{\text{عدد الحالات الملائمة}}{\text{عدد الحالات الممكنة}}$ (بشرط تساوي احتمالات النتائج).
2. التحليل التوفيقي (Combinatorics)
يُستخدم لحساب عدد الحالات في الفضاءات الكبيرة:
- القائمة (P-liste): الترتيب مهم والتكرار مسموح ($n^p$).
- الترتيبات (Arrangements): الترتيب مهم والتكرار غير مسموح ($A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$).
- التوفيقات بدون (Combinations): الترتيب غير مهم والتكرار غير مسموح ($C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$).
- التوفيقات بدون بتكرار : الترتيب غير مهم والتكرار مسموح $C_{n+p-1}^p$
3. الاحتمالات الشرطية والاستقلال
- الاحتمال الشرطي: احتمال وقوع $A$ علمًا أن $B$ قد وقع: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
- استقلال حادثتين: تكون $A$ و $B$ مستقلتين إذا كان $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
- دستور الاحتمالات الكلية: يستخدم لحساب احتمال حدث ناتج عن عدة مسارات (شجرة الاحتمالات).
- قاعدة بيز (Bayes' Theorem): تستخدم لتعديل الاحتمالات بعد ظهور نتائج جديدة.
4. المتغيرات العشوائية (Random Variables)
- المتغير العشوائي المنقطع: يأخذ قيمًا محددة (مثل 1، 2، 3). يتميز بـ:
- قانون الاحتمال: جدول يربط كل قيمة باحتمالها.
- الأمل الرياضي $E(X)$: يمثل المتوسط المتوقع.
- التباين $V(X)$: يقيس مدى تشتت القيم عن المتوسط.
- المتغير العشوائي المستمر: يأخذ قيمًا في مجال (مثل الوقت أو الطول). يعتمد على دالة الكثافة الاحتمالية ويُحسب الاحتمال فيها عن طريق التكامل.
5. التوزيعات الشهيرة (Probability Distributions)
- توزيع برنولي: تجربة لها نتيجتين فقط (نجاح/فشل).
- التوزيع الثنائي (Binomial): تكرار تجربة برنولي $n$ من المرات بشكل مستقل.
- توزيع بواسون (Poisson): للأحداث النادرة التي تقع في زمن أو مساحة محددة.
- التوزيع الطبيعي (Normal/Gaussian): التوزيع الأهم، يأخذ شكل الجرس، ويُستخدم لنمذجة الظواهر الطبيعية.
- المعلم: Rachid Cherif